材料力学で出てくる「モールの応力円」。 この記事では、その意味と書き方を解説します。 とりあえず、参考書を読む気になる事がゴール。超初心者向けです。 この記事の対象。導入で、つまずいた人 「 導入から意味不明で詰まった人に、説明する 」というコンセプトで書きました。 「 モールの応力円 」(組み合わせ応力の単元)って、個人的には理解にめちゃくちゃ苦労しました。 しばらくは、参考書の文字を追うのすらしんどいレベルでした。 同じような人に、「まぁ参考書を読んでやるか!」という気を起してもらえると嬉しいです。 勉強を進めていくと行列計算などが必要になりますが、あらましをなんとなくでも知っていれば抵抗が少なくなるのでは……と思います。 では早速。 モールの応力円とは?何に使うの? →便利な計算道具です そもそもモールの応力円とは、何なのか。 ざっくり一言で言うと 「 外力(かけた力)に対して内部でどういう力が発生したのか、が分かる便利な計算道具 」です。 もう少し補足すると、断面の応力は角度の関数です。 なので見かけ上はまっすぐ引っ張っているだけでも、傾斜角度によって応力の大きさが変わってきます。 角度による応力の状態は、もちろん式を立てて数式で解くこともできます。 しかしモールの応力円を使うと、公式を暗記していなくても作図するだけで解けて、かつ見やすいのでとても便利です。 「モールの応力円をどういうタイミングで使うのか?」を2例挙げてみます。 細かい読み方は後で解説するので、ふ~んと眺める程度でOKです。 ねじられる棒 とりあえずこの図を見てください。 丸棒が、ねじられています。 どうなるでしょうか? 理論上は、こんな風に破断しました。 45°傾いた場所にクラックが入ります。 この場合、どこにどんな力が働いたのでしょうか? そこで、「モールの応力円」の出番です。 この図によって、 45°傾いた面で最大の垂直応力が働いてしまうんだな! と言う情報が得られます。 (見方は後述します) 「外力(かけた力)に対して、内部でどういう力が発生したのか」がわかります。 ややこしい公式を覚えなくても、この図をかけばビジュアルに数値を把握できるという訳です。 引っ張るとどうなる? 今度は、部材を引っ張ってみます。 いわゆる引張試験のように、両側から引っ張ります。 どんな力が発生するのでしょうか?
見かけ上は、まっすぐにしか力かけてないじゃん!と思いますよね。 でも内部には、分力が働いてそれもまた負荷となります。 理論的には引張っている力に加えて、45°傾いた面でもせん断応力が最大になります。 (どちらで破壊するかは、材料物性次第です) これもモールの応力円で、簡単に把握することができます。 モールの応力円の書き方 モールの応力円が役立つタイミングは解ったとして、ではどう書くのでしょうか? モールの応力円の書き方自体は、とても簡単です。 とりあえずはポンポンと機械的にプロットすればOKです。 では、試しに書いてみましょう。 例題 こんな応力状態のモノがあるとします。 X軸に引張り、そしてせん断応力が働いています。 これを、モールの応力円を書いてどんな応力が発生するか確かめてみます。 これを、モールの応力円にプロットしていきましょう! その1. 座標軸をかく まず、座標軸を書きます。 横軸は垂直応力のσ(シグマ)、縦軸はせん断応力τ(タウ)です。 縦軸は、下側が+(プラス)になるようにして下さい。 あとあと楽です。 参考書によってまちまちで、ここが混乱ポイントだったりします。 2. ぽんぽんと点を置いていく 座標軸に、点を置いていきます。 例題で前提になっている応力は、下記の通りでしたね。 σ x =50Mpa σ y =0 τ xy =30Mpa これを、座標として点A、点Bに印をつけて下さい。 点Aの座標:(σ x, τ xy ) 点Bの座標:(σ y, -τ xy ) 3. 円を書く 次に、点AとBの中点が、円の中心です。 円を書いて下さい。 はい、できあがりです!
HOME > 材料力学 > 平面応力状態の主応力 二次元で考えた主応力,つまり平面応力状態での主応力は,計算力学技術者(CAE技術者)の資格認定試験では出てきますので,ここで述べておきます。 平面応力では,σx,σy,τxyがある値を持っています。σz,τyz,τzxはゼロです。 図1を用いて説明します。図の左側は応力(σx,σy,τxy)が作用している状態です。図の右側は。座標系を上手に回転して,回転後のせん断応力τx'y'をちょうどゼロにした状態です。そのときの垂直応力(σx',σy')が主応力(σ1,σ2)です。 別の表現をします。σx'は回転角θの関数です。σx'=f(θ)としましょう。θを0°から180°まで変化したときに,σx'は最大値と最小値をとります。この最大値がσ1,最小値がσ2です。τx'y'もθの関数ですが,σx'が最大値と最小値をとるとき,τx'y'はゼロになります。 主応力は次式で計算できます。 平面応力状態の主せん断応力 主せん断応力を説明します。τx'y'も回転角θの関数です。τx'y'=g(θ)としましょう。θを0°から180°まで変化したときに,τx'y'は最大値と最小値をとります。この最大値がτ1,最小値がτ2です。次式で表されます。 主せん断応力が発生する方向は,主応力が発生する方向を45°回転した方向です。
技術 計測メモ ひずみゲージによる測定例 引張および圧縮応力の測定 曲げ応力の測定 はりのひずみの計算式 軸のねじれとせん断応力の測定 ゲージ率の補正式 曲面に接着したひずみゲージの抵抗値変化 主応力の大きさと方向の求め方(ロゼット解析) 構造物などの応力測定において、主ひずみの方向が未知な場合には、通常、3軸のロゼットゲージを接着して測定したひずみ値を下記の計算式に入れて求めます。(下式は直角3軸型ロゼットゲージの場合) ε a →ε b →ε c 軸回りを正方向とする 角度θは ε a >ε c の場合はε a 軸と最大主ひずみのなす角をあらわす ε a <ε c の場合はε a 軸と最小主ひずみのなす角をあらわす ε a とε c の大きさの比較は+、-の符号を含める 最大主ひずみ 最小主ひずみ 主ひずみの方向(ε a 軸から) 最大せん断ひずみ 最大主応力 最小主応力 最大せん断応力 ν:ポアソン比 E:縦弾性係数 最近チェックした製品
三次元で考えると分かりづらいかもしれません。 そこで、先の例題の最大のせん断応力の作用面を、模式的にCGで表してみました。 ※ ズズズと滑っているような絵にしています。 σ1、およびσ3の軸から、それぞれ45°傾いた法線を持つ面、が最大せん断応力の作用面になっています。 他の例 ▼ さらに、他の応力状態で応力円をかいてみるとこんな感じです。 主応力が σ1=-5, σ2=-10, σ3=-15 になる応力状態だとします。 最大せん断応力の絶対値は、5((σ1-σ3)/2)になります。 最大、最小の垂直応力が生じている面を意識すると、最大せん断応力の作用面が容易に判断できると思います。 参考文献 日本機械学会. (2007). 第8章 複雑な応力. In JSMEテキストシリーズ 材料力学 (pp. 131-138). 竹園茂男, 垰克己, 感本広文, 稲村栄次郎. 第2章 基礎理論. In 弾性力学入門 (pp. 7-27). 森北出版. Goodno, B. J., & Gere, J. M. (2020). 2. 6 Stress on Inclined Sections. In Mechanics of Materials, Enhanced, SI Edition (pp. 178-184). CENGAGE LEARNING. HIBBELER, R. C. (2017). AND STRAIN TRANSFORMATION. In Statics and mechanics of materials in si units [Kindle version] (5 ed., p. 637). Pearson Education.
1km 07 Odakyu OX(オダキュウ オーエックス) 生田店 神奈川県川崎市多摩区生田7-8-4 0449315557 [月-金]10:00-23:00 [土・日]10:00-22:00 08 ユーコープ 登戸店 神奈川県川崎市多摩区登戸369 0449002660 9:30-20:00 09 YURI STORE(ゆりストア) 星ヶ丘店 神奈川県川崎市麻生区千代ヶ丘6-14-2 0449452281 10:00-20:00 1. 2km 10 ニューヤヒロパルケ 稲田堤駅前店 神奈川県川崎市多摩区菅1-2-4 0449493910 10:00-22:00 1 2 3 4 5 6 7 その他周辺のスポット 周辺の生活雑貨/日用品 周辺のコンビニ 周辺のスーパー 周辺の食料品 周辺の映像/音楽/書籍 周辺のショッピングモール/商店街 周辺のデパート/百貨店 周辺の電器/パソコン/カメラ 周辺の子供/ベビー 周辺の趣味/スポーツ 周辺のプレイガイド/チケット 周辺の直売所/市場 周辺のその他お買い物 【店舗経営者の方へ】 NAVITIMEで店舗をPRしませんか (無料情報掲載) 【施設・店舗の方へ】感染対策を掲載できます 周辺情報 WORKMAN Plus(ワークマンプラス) 川崎中野島店周辺の情報 ホテル グルメスポット 最寄駅 お店/施設 駐車場 住宅情報 関連するジャンルで再検索 周辺のイオン 周辺のイトーヨーカドー 周辺のダイエー 周辺の西友 周辺のコープ 周辺のその他スーパー 周辺の道路沿いで再検索 県道9号線 府中街道 県道3号線
のように、点Aから反時計回りで到達したτの最大値(主せん断応力)の符号で、向きを判断できます。 例えば、この例題では「点Aから反時計回りに70度回転した軸で、負の値(-39. 1Mpa)」だったので、 「 点A反時計回りに70度回転した軸に対して、向きは右回り(時計回り) 」だと判断できます。 せん断応力の矢印の方向が、元の例題の応力図と、最大せん断応力では逆になることに注意して下さい。 ※モールの応力円で見れば、つじつまが合います。 応力図ではどうなる? 上記モールの応力円の状態を、応力図でも書いておきます。 すべて、計算無しにモールの応力円から求まりました。 ※実際試験などでゼロから作図するなら、三平方の定理くらいは要ります。 今回は、めんどくさいのでCADで作図しました。 例題(再掲) 例題のモールの応力円(再掲) 主応力 元の座標から+25°(反時計回り)傾いた座標になります。 応力図上でも、反時計回りが+(プラス)です。 モールの応力円作図時にτ軸のプラス方向を下にしたので、応力図の座標と見た目が一致します。 主せん断応力 モールの応力円上で数値をすべて読み取れます。 せん断応力の矢印の方向が、最大せん断応力では逆になることに注意して下さい。 +(プラス)は反時計回り、-(マイナス)は時計回りだと考えればOKです。 三次元のモールの応力円では、何がわかる? これまで紹介したモールの応力円は、一つの平面(x-y面)にのみ注目していました。 さらに三次元(3軸)のモールの応力円を描くと、最大せん断応力が発生する面と値を視覚的に把握できます。 最大せん断応力の作用面を探す 例えば、こんな応力状態があるとします。 値はσx=10、σy=5とします。 これを三次元のモールの応力円にするとこうなります。 円の役割は、下記の通りです。 右の小さい円:σ1とσ2(x-y面)についての円 左の小さい円:σ2とσ3(y-z面)についての円 一番大きな円:σ1とσ3(x-z面)についての円 そしてこの図から、以下の事がわかります。 この例題(σ1>σ2>σ3)の場合、一番大きな円は、x-y面ではなく主応力σ1-σ3の面( x-z面 )である σ1、σ3から θ=45° 回転させると、せん断応力の法線になる 最大せん断応力の絶対値は5である。 主応力は、3つ存在する。σ1=10、σ2=5、σ3=0 結局どの向きになるの?
(日本アイアール株式会社 特許調査部 S・Y) 同じカテゴリー、関連キーワードの記事・コラムもチェックしませんか?